Ежедневно большинство людей используют десятичные числа для взаимодействия между собой в различных жизненных сферах. Но в цифровых устройствах и системах дела обстоят по-другому. Там используется своя, “не от мира сего”, система счисления, которая называется двоичная. А в сложных микропроцессорных системах используют еще одну систему — шестнадцатеричную.
Счет в двоичной и десятичной системах счисления
Система счисления — это набор символов, в которой каждый специальный символ используют для обозначения количества предметов. В десятичной системе используют 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. В некоторых источниках десятичную систему называют системой счисления с основанием 10. Соответственно, двоичную систему называют системой счисления с основанием 2 и в нее входит всего лишь два символа — это 0 и 1.
Таблица 1 иллюстрирует представления в двоичной и десятичной системах счисления конкретного количества монет (обозначенных кружками). Стоит подчеркнуть, что обозначение ноль и один предмет в обоих системах совпадают. Два предмета обозначаются двоичным числом 10 (читается как “один-ноль”), а девять предметов — числом 1001 (читается как “один-ноль-ноль-один”). Для успешной и продуктивной работы с цифровыми устройствами, желательно, знать количественное обозначения двоичной системы по крайней мере от 0 до 9.
| Количество монет | Символ десятичной системы | Символ двоичной системы |
|---|---|---|
| — | 0 | 0 |
| ⊕ | 1 | 1 |
| ⊕⊕ | 2 | 10 |
| ⊕⊕⊕ | 3 | 11 |
| ⊕⊕⊕⊕ | 4 | 100 |
| ⊕⊕⊕⊕⊕ | 5 | 101 |
| ⊕⊕⊕⊕⊕⊕ | 6 | 110 |
| ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ | 7 | 111 |
| ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ | 8 | 1000 |
| ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ | 9 | 1001 |
Вес разряда
Для примера воспользуемся числом 648. Разобьем его на сотни, десятки и единицы. Цифра 6 — это старший третий разряд, так как находится левее двух предыдущих от десятичной точки и представляет число 600. Цифра 4 занимает второй разряд и является числом 40. Цифра восемь представляет число 8 и это младший разряд, потому что находиться справа от остальных. В результате, число 648 это сумма шести сотен, четырех десятков и восьми единиц. Пример поясняет понятие веса разряда, то есть значимость положения цифры в десятичном числе.
| сотни | десятки | единицы | ||||
| 648 | = | 600 | + | 40 | + | 8 |
Подобно десятичной системе, в двоичной также применяется понятие веса разряда. Вот, например, какое количество предметов обозначает число “1101” («один-один-ноль-один»)?
| Вес разряда | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Количество предметов | ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ | ⊕⊕⊕⊕ | ⊕⊕ | ⊕ |
| Двоичное число | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Количество предметов | ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ (8) | ⊕⊕⊕⊕ (4) | (0) | ⊕ (1) |
| Общее количество | ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ = 13 | |||
Как видно выше, цифра 1, которая находится правее, имеет вес разряда единицу, а значит обозначает один предмет (вес разряда × разряд числа = 1 × 1 = 1). Если в разряде двоичного числа “стоит” 0, то к общему числу предметов ничего не добавляется. Цифра 1 в разряде четверок означает, что к общему количеству предметов необходимо добавить еще 4 предмета. Такая же ситуация и в разряде с весом 8, здесь еще нужно добавить 8 предметов. Суммировав полученные значения, мы найдем, что двоичное число 1101 обозначает 13 предметов (ну или число 13 в десятичной системе счисления, кому как удобнее).
А сколько предметов обозначает двоичное число 1100 («один-один-ноль-ноль»)?
| 8 | 4 | 2 | 1 | Вес разряда |
| 1 | 1 | 0 | 0 | Двоичное число |
| Есть | Есть | Нет | Нет | Заполнение разряда |
| ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ (8) | ⊕⊕⊕⊕ (4) | (0) | (0) | Количество предметов |
| 1100 (двоичное) = ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ = 12 (десятичное) | Общий результат | |||
Таким образом, двоичное число 1100 обозначает 12 предметов.
На рисунке ниже указан вес каждого разряда в двоичной системе счисления. Заметьте, что вес разряда каждый раз получается как результат умножения веса предыдущего разряда на 2. Название «система с основанием 2» подчеркивает эту особенность двоичной системы счисления.
| 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
| 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
