Шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричная система счисления активно используется в микропроцессорных устройствах для представления восьми- и шестнадцатеразрядных двоичных чисел, особенно остро на этапе программирования и наладки.

В шестнадцатеричной системе счисления (ее также называют система счисления с основанием 16) используют 16 символов:

Таблица 1 содержит значения десятичных чисел от 0 до 20 и их перевод в двоичную и шестнадцатеричную системы.

Одним из преимуществ шестнадцатеричной системы является то, что можно использовать прямое преобразование четырех разрядов двоичного числа в один разряд шестнадцатеричного числа и наоборот. Например, число F с основанием 16 соответствует числу 1111 с основанием 2.

А число FF соответствует двоичному 1111 1111.

А еще числами шестнадцатеричной системы удобно пользоваться, нежели длинными двоичными. Например, шестнадцатеричное число A9 будет равнозначно двоичному 10101001.

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное

Как видно из таблицы 1, все будет зависит от того, какое основание выбрано для числа. Это может быть и 10 предметов, и 2, и 16.

Запись 10₂ обозначает 2 предмета, поскольку является двоичным числом 10 «один-ноль» в системе с основанием 2.

В случае же индекса 16 запись 10₁₆ обозначает шестнадцать предметов, так как основание системы счисления равно 16.

В качестве примера переведем  шестнадцатеричное число С3₁₆ в двоичное число.

Рисунок 1 показывает, как каждый символ шестнадцатеричного числа переводится в его четырехсимвольный двоичный эквивалент (воспользуемся таблицей 1).

Шестнадцатеричный символ С (старший разряд) соответствует четырехразрядному двоичному числу 1100, а шестнадцатеричный символ 3₁₆ (младший разряд) — двоичному числу 0011. Объединяя эти две двоичные группы, получаем, что С3₁₆ = 11000011.

Перевод двоичного числа в шестнадцатеричное

Выполним теперь противоположную операцию и переведем двоичное число 11101010 в соответствующее ему шестнадцетиричное. Эта операция изображена на рисунке 2.

Двоичное число разбивается на группы по 4 разряда и вместо них подставляется соответствующий шестнадцетиричный эквивалент (таблица 1 в помощь).

В результате получаем 111010102 = ЕА₁₆

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

Переведем шестнадцатиричное число 2DB₁₆ в десятичное (рисунок 3).

В верхней строке указаны веса первых трех разрядов: 256, 16 и 1.

1. В шестнадцатеричном числе на рисунке 3 имеется одиннадцать единиц в первом разряде.
2. В разряде с весом 16 стоит символ D, что соответствует числу 13. Умножая его на вес разряда, получается число 208.
3. Двойка в разряде с весом 256 дает число 512.
4. Суммируя значения 11 + 208 + 512, получаем число 731₁₀.

Таким образом 2DB₁₆ = 731₁₀.

Преобразование  десятичного числа в шестнадцатеричное

Теперь рассмотрим обратное преобразование десятичного числа 47 в его шестнадцатеричную форму.

На рисунке 4 показана процедура последовательных делений на 16.

1. Первое деление числа 47 на 16 дает частное 2 и остаток 15. Этот остаток 15 (то есть число F в шестнадцатеричной системе) является младшим разрядом (крайний правый символ) искомого шестнадцатеричного числа.
2. Частное (в данном случае 2) надо принять далее в качестве делимого и снова разделить его на 16. В результате получится частное 0 с остатком 2. Эта двойка является следующим разрядом нашего шестнадцатеричного числа.
3. На этом процесс преобразования заканчивается, так как получилось частное, равное 0.

С помощью процедуры последовательного деления на 16 мы преобразовали число 47₁₀ в эквивалентное ему шестнадцатеричное число 2F₁₆.